Algèbre Géométrique

Note sur la publication incrémentale :

Ce volume est publié au fur et à mesure qu'il prend forme selon la philosophie de Leanpub. La version originale italienne (https://leanpub.com/Algebra-Geometrica) guide le développement, suivie à courte distance par les traductions soignées personnellement en anglais (https://leanpub.com/Geometric-Algebra) et en français.

Également disponible dans le pack multilingue [Pack multilingue sur l'algèbre géométrique](https://leanpub.com/b/geometric-algebra-multilingual-edition-it-en-fr)

Pour garantir le maximum de rigueur d'exposition et mathématique, la cadence de publication n'est pas rigide : l'objectif indicatif est la sortie d'un nouveau chapitre (ou du bloc traduit correspondant) environ tous les deux mois. En achetant maintenant, vous recevrez gratuitement tous les chapitres successifs et errata jusqu'à l'œuvre complète. Vous pouvez suivre l'avancement ou signaler des coquilles via la page du livre sur Leanpub.

Public auquel s'adresse le texte :

Tous ceux (mathématiciens, ingénieurs, physiciens ou informaticiens, par exemple) intéressés par un calcul vectoriel et multivectoriel indépendant des coordonnées cartésiennes, à utiliser dans des applications pratiques (par exemple, algorithmes pour la fusion de capteurs), et non tout à fait satisfaits par les approches actuelles des algèbres géométriques (aussi bien métriques que projectives) ou curieux d'en explorer de différentes.

Brève description du contenu et de son objectif (la Géométrie comme "Boîte Blanche") :

Dans l'approche analytique traditionnelle, l'espace est traité comme un contenant préexistant et les problèmes géométriques sont traduits en matrices de coordonnées numériques. Cette façon de procéder se comporte souvent comme une "boîte noire" : l'algorithme traite des nombres, mais les passages intermédiaires perdent le lien visuel et conceptuel avec la réalité physique de l'espace. S'inspirant de l'intuition originaire d'Hermann Grassmann et du programme de la characteristica geometrica de Leibniz, ce volume propose un changement de paradigme : les symboles algébriques dénotent directement les objets géométriques et les portions d'espace (par exemple, points et flèches). Dans ce calcul invariant ("boîte blanche"), l'introduction des coordonnées cartésiennes est postposée, opérant préliminairement avec des polynômes de points et de vecteurs capables de préserver à chaque passage leur signification géométrique et cinématique.

Ce que contient le Chapitre 1 : Premiers pas

Le premier chapitre (57 pages avec traitement formel, démonstrations et exemples applicatifs) jette les fondements axiomatiques de l'algèbre poly-ponctuelle :

Points, poids et espaces affines : Le point comme générateur algébrique et géométrique ; distinction entre vecteurs libres (combinaisons linéaires à poids nul) et points de l'espace affine (combinaisons à poids unitaire).

Polynômes de points et vecteurs : Le produit par juxtaposition associatif et distributif. L'axiome de commutativité : deux points ou deux vecteurs commutent si et seulement s'ils sont linéairement dépendants.

Dépassement de la Lex Homogeneorum de Viète : L'utilisation de polynômes non homogènes (multi-points et multi-vecteurs) compris non comme des formes inertes, mais comme des opérateurs de transformation unifiés.

2-points et vecteurs liés (curseurs) : Représentation explicite de la droite d'action, invariance par glissement (principe de transmissibilité), pôle de réduction et décomposition naturelle de forces et moments sans constructions artificielles externes.

2-vecteurs et bi-points cycliques : Équivalence entre bi-vecteurs libres et chaînes polygonales fermées de curseurs à résultante translationnelle nulle. Comparaison dimensionnelle critique avec le produit vectoriel (cross product) de Gibbs dans ℝ³.

Algèbre du rapport et Bracket de Cayley : Calcul du rapport entre curseurs colinéaires au moyen de matrices de transition barycentrique et de déterminants invariants. Émergence du couple (moment pur) dans le cas de curseurs sur des droites distinctes.

3-points et Règle de Cramer géométrique : Interprétation du 3-point comme aire orientée et démonstration intrinsèque de la règle de Cramer vue comme simple bilan d'aires de parallélogrammes soumis à glissement par le principe de Cavalieri.

Abstraction géométrique et physique : Application des coordonnées barycentriques à l'espace de la couleur (synthèse additive RGB) et signification géométrique et physique des coordonnées barycentriques négatives comme lumière de compensation/désaturation.

Formule invariante d'intersection entre droites coplanaires : Détermination du point d'incidence sans coordonnées cartésiennes a priori. Choix a posteriori de la base et diagnostic visuel du mauvais conditionnement numérique.

Prérequis

Le texte requiert uniquement deux compétences de départ :

1. Prérequis algébriques : Savoir manipuler des polynômes de lettres (propriété associative, distributive, factorisations).
2. Prérequis géométriques : Capacité intuitive de visualiser dans l'espace des points, flèches, droites et plans.